Funzioni

Funzioni: guida per gli esami universitari

Una funzione è una regola precisa tra insiemi. Capire bene dominio, codominio e immagini rende quasi automatico riconoscere iniettività, suriettività, inverse e composizioni.

Definizione formale

Funzione

Una funzione $f : A \to B$ associa a ogni elemento $x \in A$ uno e un solo elemento $f (x) \in B$ .

Notazione

$x \mapsto f (x)$ descrive la legge; $f : A \to B$ specifica anche gli insiemi coinvolti.

Regola fondamentale

Uno stesso input non può avere due output diversi. Input distinti possono invece avere lo stesso output: questo non impedisce di avere una funzione.

Una funzione non è soltanto la formula. Per definirla servono dominio, codominio e legge di associazione. La stessa formula con codomini diversi può avere proprietà diverse.

Oggetto	Significato	Esempio per f: ℝ → ℝ, f(x) = x²
A	Dominio: insieme degli input ammessi.	ℝ
B	Codominio: insieme dichiarato degli output possibili.	ℝ
f(x)	Immagine dell'elemento x.	f(−3) = 9
f(A)	Immagine della funzione: valori effettivamente assunti.	[0, +∞)
f⁻¹({y})	Fibra o controimmagine di y: input che producono y.	f⁻¹({9}) = {−3, 3}

Dominio, codominio, immagine e controimmagine

Per $f : A \to B$ e sottoinsiemi $S \subseteq A$ , $T \subseteq B$ :

Immagine di un insieme

f (S) = {f (x) : x \in S}

Controimmagine

f^{- 1} (T) = {x \in A : f (x) \in T}

La scrittura f⁻¹(T) per la controimmagine ha senso anche se f non è invertibile. Non va confusa con la funzione inversa, che esiste solo quando f è biettiva.

Come trovare il dominio naturale di una formula reale

Presenza nella formula	Condizione	Esempio
Denominatore	Deve essere diverso da zero.	`1/(x−2)`: x ≠ 2
Radice di indice pari	Il radicando deve essere ≥ 0.	`√(3−x)`: x ≤ 3
Logaritmo	L'argomento deve essere > 0.	`log(x+1)`: x > −1
Arcoseno o arcocoseno	L'argomento deve stare in [−1, 1].	`arcsin(2x)`: \|x\| ≤ 1/2
Composizione	x deve stare nel dominio interno e il suo output nel dominio esterno.	`log(√x−1)`: x > 1

Modi di rappresentare una funzione

Formula: per esempio $f (x) = x^{2} + 1$ .
Diagramma a frecce: utile per insiemi finiti e per vedere subito le fibre.
Tabella: elenca coppie input-output; deve contenere un solo output per ogni input.
Grafico cartesiano: è l'insieme ${(x, f (x)) : x \in A}$ .
Definizione a tratti: leggi diverse su parti diverse del dominio; controlla sempre i punti di raccordo.

Test della retta verticale: un sottoinsieme del piano è il grafico di una funzione di x se ogni retta verticale lo incontra al massimo una volta.

Iniettiva, suriettiva e biettiva a colpo d'occhio

Nei diagrammi, ogni freccia parte dal dominio A e arriva nel codominio B. Osserva se due frecce condividono l'arrivo e se nel codominio rimangono punti non raggiunti.

Iniettiva, non suriettiva Arrivi tutti distinti, ma resta un elemento di B non raggiunto.

Suriettiva, non iniettiva Tutto B è raggiunto, ma due elementi di A condividono l'arrivo.

Biettiva Ogni elemento di B è raggiunto una e una sola volta.

elemento del dominio elemento raggiunto elemento non raggiunto o arrivo condiviso

Funzione iniettiva

Una funzione è iniettiva quando input diversi producono output diversi.

f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

Equivalentemente, $x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Metodo algebrico

Poni $f (x_{1}) = f (x_{2})$ e prova che necessariamente $x_{1} = x_{2}$ .

Metodo grafico

Ogni retta orizzontale deve incontrare il grafico al massimo una volta.

Criterio di monotonia

Una funzione strettamente crescente o strettamente decrescente su tutto il dominio è iniettiva.

Come negarla

Basta trovare $x_{1} \neq x_{2}$ con la stessa immagine.

Esempio:

f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2}

non è iniettiva perché

f (1) = f (- 1)

. La restrizione a

[0, + \infty)

è invece iniettiva.

Funzione suriettiva

Una funzione $f : A \to B$ è suriettiva se ogni elemento del codominio viene raggiunto:

\forall y \in B, \exists x \in A : f (x) = y

In altre parole, $f (A) = B$ .

Metodo operativo

Prendi un generico $y \in B$ , risolvi $f (x) = y$ rispetto a x e verifica che almeno una soluzione appartenga al dominio.

Come negarla

Basta esibire un elemento del codominio che non sia immagine di alcun elemento del dominio.

Dipende dal codominio

$x^{2}$ da ℝ a ℝ non è suriettiva; da ℝ a $[0, + \infty)$ lo è.

Biettività e funzione inversa

Una funzione è biettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Ogni elemento del codominio ha esattamente una controimmagine.

Inversa

Se f è biettiva, esiste $f^{- 1} : B \to A$ che rimanda ogni output al suo unico input.

Identità fondamentali

$f^{- 1} \circ f = {id}_{A}$ e $f \circ f^{- 1} = {id}_{B}$ .

Grafico

Il grafico dell'inversa si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla retta $y = x$ .

Procedura per trovare l'inversa

Verifica che la funzione sia biettiva sugli insiemi dichiarati.
Scrivi $y = f (x)$ .
Risolvi l'equazione rispetto a x.
Scambia i nomi x e y e specifica dominio e codominio dell'inversa.
Controlla entrambe le composizioni.

Non confondere

f^{- 1} (x)

con

\frac{1}{f (x)}

: l'inversa “annulla” l'azione di f, il reciproco ne capovolge il valore.

Composizione di funzioni

Se $f : A \to B$ e $g : B \to C$ , la composizione è:

g \circ f : A \to C, (g \circ f) (x) = g (f (x))

Composizione: si applica prima f e poi g; la freccia tratteggiata rappresenta direttamente g ∘ f.

Si applica prima la funzione più vicina a x: in $g \circ f$ , prima f e poi g.
In generale non è commutativa: $g \circ f \neq f \circ g$ .
È associativa: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .
Se f e g sono iniettive, anche $g \circ f$ è iniettiva.
Se f e g sono suriettive, anche $g \circ f$ è suriettiva.
Se $g \circ f$ è iniettiva, allora f è iniettiva. Se è suriettiva, allora g è suriettiva.
Per funzioni biettive, ${(g \circ f)}^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

Restrizioni, estensioni e identità

Restrizione

Se $S \subseteq A$ , la restrizione $f_{S} : S \to B$ usa la stessa legge di f su un dominio più piccolo.

Estensione

Una funzione g è un'estensione di f se coincide con f sul dominio di f, ma è definita su un insieme più grande.

Funzione identità

${id}_{A} (x) = x$ . È biettiva e non cambia una funzione quando viene composta con essa.

Funzione costante

$f (x) = c$ . Se il dominio ha più di un elemento non è iniettiva; è suriettiva solo sul codominio ${c}$ .

Proprietà importanti delle funzioni reali

Proprietà	Definizione o criterio	Osservazione
Pari	`f(−x) = f(x)`	Grafico simmetrico rispetto all'asse y.
Dispari	`f(−x) = −f(x)`	Grafico simmetrico rispetto all'origine.
Periodica	`f(x + T) = f(x)` per un T > 0	Il minimo T positivo, se esiste, è il periodo fondamentale.
Crescente	`x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)`	“Strettamente crescente” usa < anche tra le immagini.
Decrescente	`x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)`	Una funzione strettamente monotona è iniettiva.
Limitata superiormente	Esiste M con `f(x) ≤ M` per ogni x.	Il più piccolo maggiorante è il supremo dell'immagine.
Limitata inferiormente	Esiste m con `m ≤ f(x)` per ogni x.	Il più grande minorante è l'infimo dell'immagine.
Massimo	Esiste x₀ con `f(x) ≤ f(x₀)` per ogni x.	Il supremo non deve necessariamente essere raggiunto.
Continua in x₀	`lim x→x₀ f(x) = f(x₀)`	Richiede che f(x₀) sia definita e coincida col limite.
Derivabile in x₀	Esiste finito il rapporto incrementale.	Derivabile implica continua; il contrario è falso.

Teorema utile: una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo è invertibile sulla propria immagine; la sua inversa è continua e strettamente monotona nello stesso verso.

Trasformazioni elementari del grafico

Nuova funzione	Effetto sul grafico di y = f(x)
`f(x) + k`	Traslazione verticale di k: verso l'alto se k > 0.
`f(x − h)`	Traslazione orizzontale di h: verso destra se h > 0.
`a f(x)`	Dilatazione verticale di fattore \|a\|; se a < 0 anche riflessione sull'asse x.
`f(bx)`	Scala orizzontale di fattore 1/\|b\|; se b < 0 anche riflessione sull'asse y.
`\|f(x)\|`	Le parti sotto l'asse x vengono riflesse sopra.
`f(\|x\|)`	La parte per x ≥ 0 viene riflessa rispetto all'asse y.
`−f(x)`	Riflessione rispetto all'asse x.
`f(−x)`	Riflessione rispetto all'asse y.

Schema per lo studio di una funzione reale

Dominio e possibili simmetrie.
Intersezioni con gli assi e studio del segno.
Limiti agli estremi del dominio e ricerca degli asintoti.
Continuità e classificazione delle discontinuità.
Derivata prima: punti critici, monotonia, massimi e minimi.
Derivata seconda: concavità, convessità e flessi.
Immagine della funzione, usando limiti ed estremi trovati.
Grafico qualitativo coerente con tutte le informazioni.

Prima di derivare, determina sempre il dominio. Un calcolo formalmente corretto fuori dal dominio non descrive la funzione.

Esempi svolti

1. Funzione affine

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = 3 x - 2$ .

Soluzione

È strettamente crescente, quindi iniettiva. Per ogni y, l'equazione y = 3x − 2 dà x = (y + 2)/3 ∈ ℝ: è suriettiva e dunque biettiva.

$f^{- 1} (y) = \frac{y + 2}{3}$ .

2. Parabola e codominio

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2} + 1$ .

Soluzione

Non è iniettiva perché f(x) = f(−x). L'immagine è [1, +∞), quindi non è suriettiva su ℝ.

Ristretta a [0, +∞) e con codominio [1, +∞) diventa biettiva, con inversa $\sqrt{y - 1}$ .

3. Funzione razionale

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

Soluzione

Il dominio è ℝ \ {−2}. Risolvendo y = (x−1)/(x+2) si ottiene x = (−1−2y)/(y−1), possibile per y ≠ 1.

Come funzione da ℝ \ {−2} a ℝ \ {1} è biettiva. L'inversa è $f^{- 1} (y) = \frac{- 1 - 2 y}{y - 1}$ .

4. Composizione e dominio

f(x) = √x e g(x) = x − 1.

Soluzione

(f ∘ g)(x) = √(x−1) ha dominio [1, +∞).

(g ∘ f)(x) = √x−1 ha dominio [0, +∞). Le due composizioni sono diverse.

Errori frequenti all'esame

Dire che una funzione è suriettiva senza aver specificato il codominio.
Confondere codominio e immagine: l'immagine è un sottoinsieme del codominio.
Controllare l'iniettività con esempi favorevoli: serve una dimostrazione generale; per negarla basta un controesempio.
Risolvere f(x) = y senza verificare che la soluzione appartenga al dominio.
Scrivere un'inversa per una funzione non biettiva, senza restringere dominio o codominio.
Confondere f⁻¹ con 1/f.
Invertire l'ordine nella composizione: (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
Dimenticare le condizioni di esistenza dopo una composizione.
Usare “crescente” e “strettamente crescente” come sinonimi.
Credere che continuità implichi derivabilità o che il supremo sia sempre un massimo.

Esercizi per il ripasso

Iniettività e suriettività

Studia $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{3} - 1$ .

Risposta

Strettamente crescente e con immagine ℝ: è biettiva. L'inversa è ∛(y+1).

Dominio composto

Trova il dominio di f(x) = log((x−1)/(x+2)).

Risposta

Serve (x−1)/(x+2) > 0. Con lo studio del segno: (−∞, −2) ∪ (1, +∞).

Inversa con restrizione

Rendi invertibile f(x) = (x−2)² e trovane un'inversa.

Risposta

Una scelta è f: [2,+∞) → [0,+∞). Allora f⁻¹(y) = 2 + √y. Scegliendo invece il ramo x ≤ 2 si ottiene 2 − √y.

Deduzione sulla composizione

Se g ∘ f è biettiva, che cosa puoi concludere su f e g?

Risposta

Puoi concludere che f è iniettiva e g è suriettiva. Senza altre ipotesi non puoi concludere che entrambe siano biettive.

Consiglio pratico: quando affronti un esercizio, scrivi subito dominio e codominio. Quasi tutte le proprietà successive dipendono da quei due insiemi.