Polinomi: prodotti notevoli, scomposizione e Ruffini

Polinomi: una guida ragionata

Dalle manipolazioni di base alla struttura algebrica che incontrerai nei corsi universitari. L’obiettivo non è imparare una collezione di trucchi, ma riconoscere quale idea usare e perché funziona.

1. Linguaggio essenziale

Un polinomio in una variabile a coefficienti in un insieme $K$ ha la forma

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

dove gli esponenti sono interi non negativi e i coefficienti appartengono a $K$ , per esempio $ℚ$ , $ℝ$ o $ℂ$ .

Grado

Se $a_{n} \neq 0$ , il grado è $n$ . Si scrive $\deg (P) = n$ .

Termini speciali

$a_{n}$ è il coefficiente direttivo; $a_{0}$ è il termine noto. Se il coefficiente direttivo è 1, il polinomio è monico.

Polinomio nullo

Ha tutti i coefficienti nulli. Il suo grado non si tratta come quello degli altri polinomi: spesso si pone convenzionalmente $\deg (0) = - \infty$ .

Uguaglianza

Due polinomi sono uguali se hanno uguali i coefficienti delle stesse potenze. Non basta che coincidano in uno o pochi valori di $x$ .

Polinomio ed espressione non sono la stessa cosa.

\frac{1}{x}

\sqrt{x}

x^{- 2}

non sono polinomi in

x

, perché contengono rispettivamente una variabile al denominatore, un esponente frazionario e un esponente negativo.

2. Operazioni e gradi

Operazione	Regola	Osservazione
Somma	Somma i coefficienti dei termini con la stessa potenza.	$\deg (P + Q) \leq \max {\deg (P), \deg (Q)}$ ; il grado può scendere per cancellazione.
Prodotto	Usa la proprietà distributiva e somma gli esponenti delle potenze moltiplicate.	Su ℚ, ℝ o ℂ, se $P, Q \neq 0$ , allora $\deg (P Q) = \deg (P) + \deg (Q)$ .
Potenza	Moltiplica ripetutamente il polinomio per sé stesso.	$\deg (P^{k}) = k \cdot \deg (P)$ per $P \neq 0$ e $k > 0$ .
Composizione	Sostituisci $Q (x)$ al posto di $x$ in $P$ .	$\deg (P \circ Q) = \deg (P) \cdot \deg (Q)$ se entrambi hanno grado positivo.

(2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 4) = 3 x^{2} + 2 x - 3

3. Prodotti notevoli

Sono identità: valgono per ogni scelta delle espressioni $A$ e $B$ . Vanno sapute usare in entrambe le direzioni, sia per sviluppare sia per scomporre.

Nome	Identità	Segnale da riconoscere
Quadrato di una somma	${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$	Due quadrati e il doppio prodotto positivo.
Quadrato di una differenza	${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$	Due quadrati e il doppio prodotto negativo.
Somma per differenza	$(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$	Una differenza di quadrati.
Cubo di una somma	${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$	Coefficienti 1, 3, 3, 1 e potenze complementari.
Cubo di una differenza	${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$	Coefficienti 1, 3, 3, 1 con segni alterni.
Somma di cubi	$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$	Il binomio conserva il segno; nel trinomio il termine misto ha segno opposto.
Differenza di cubi	$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$	Il binomio conserva il segno; il trinomio ha tutti i segni positivi.

La formula generale: binomio di Newton

{(A + B)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) A^{n - k} B^{k}

I coefficienti binomiali $(\binom{n}{k})$ spiegano le righe del triangolo di Tartaglia. Questa formula tornerà in combinatoria, probabilità, analisi e algebra lineare.

4. Tecniche di scomposizione

Scomporre significa scrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado minore. La fattorizzazione dipende dall’insieme dei coefficienti ammessi.

Raccoglimento totale

Estrai il massimo fattore comune: $6 x^{3} - 9 x^{2} = 3 x^{2} (2 x - 3)$ .

Raccoglimento a gruppi

Raggruppa termini con un fattore comune: $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1) (x^{2} + 2)$ .

Prodotti notevoli al contrario

$9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$ .

Sostituzione

Riconosci una struttura più semplice: posto $t = x^{2}$ , $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ diventa $t^{2} - 5 t + 4$ .

Ricerca di uno zero

Se trovi $α$ tale che $P (α) = 0$ , allora $(x - α)$ è un fattore. Dividi e continua sul quoziente.

Completamento del quadrato

$x^{2} + 6 x + 5 = {(x + 3)}^{2} - 4$ , poi usa la differenza di quadrati.

Prima regola pratica: cerca sempre un fattore comune, anche numerico o con segno negativo. È il controllo più economico e rende più visibili tutte le strutture successive.

5. Trinomi di secondo grado

Per il trinomio monico $x^{2} + s x + p$ cerca due numeri $u$ e $v$ con somma $s$ e prodotto $p$ :

x^{2} + (u + v) x + u v = (x + u) (x + v)

Nel caso generale $a x^{2} + b x + c$ , calcola il discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Se le radici sono $x_{1}$ e $x_{2}$ , allora

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Se $Δ > 0$ , ci sono due radici reali distinte.
Se $Δ = 0$ , c’è una radice reale doppia e il trinomio è un quadrato perfetto a meno del fattore $a$ .
Se $Δ < 0$ , non si scompone in fattori lineari reali, ma si scompone in ℂ.

Le relazioni di Viète danno $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ e $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ : sono utili molto oltre la scomposizione.

6. Divisione euclidea tra polinomi

Se $A (x)$ e $B (x) \neq 0$ hanno coefficienti in un campo, esistono e sono unici $Q$ e $R$ tali che

A (x) = B (x) Q (x) + R (x)

Algoritmo in colonna

Ordina dividendo e divisore per potenze decrescenti, inserendo coefficienti zero per i termini mancanti.
Dividi il termine di grado massimo del dividendo corrente per quello del divisore: ottieni il prossimo termine del quoziente.
Moltiplica il divisore per quel termine e sottrai.
Ripeti finché il resto ha grado minore del divisore.

(2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 6) : (x + 2)

Controllo: $(x + 2) (2 x^{2} - x - 3) + 12$ ricostruisce il dividendo.

7. Teorema del resto, teorema del fattore e zeri

Teorema del resto

Il resto della divisione di $P (x)$ per $x - α$ è il numero $P (α)$ .

Teorema del fattore

$P (α) = 0$ se e solo se $x - α$ divide $P (x)$ . In Italia è spesso chiamato teorema di Ruffini.

Molteplicità

$α$ ha molteplicità $m$ se ${(x - α)}^{m}$ divide $P$ , ma la potenza successiva no.

Il teorema del resto segue direttamente dalla divisione:

P (x) = (x - α) Q (x) + r

Per un polinomio di grado

n

non nullo, gli zeri distinti sono al massimo

n

. Contando le molteplicità, un polinomio complesso di grado

n

ha esattamente

n

zeri: è il teorema fondamentale dell’algebra.

8. Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è una divisione sintetica: abbrevia la divisione per un divisore monico di primo grado $x - α$ . Non si applica direttamente a divisori come $x^{2} + 1$ o $2 x - 3$ .

Esempio: dividi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ per $x - 3$ .

$α = 3$	2	−3	−11	6
prodotti		6	9	−6
somme	2	3	−2	0

Scrivi tutti i coefficienti, compresi gli zeri dei termini mancanti.
Abbassa il primo coefficiente.
Moltiplicalo per $α$ , scrivi il risultato sotto il coefficiente successivo e somma.
Ripeti. L’ultimo numero è il resto; gli altri sono i coefficienti del quoziente.

Qui il quoziente è $2 x^{2} + 3 x - 2$ e il resto è zero. Quindi

2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = (x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2)

9. Teorema delle radici razionali

Per un polinomio a coefficienti interi

P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}

se una frazione ridotta $\frac{p}{q}$ è uno zero razionale, allora $p$ divide il termine noto $a_{0}$ e $q$ divide il coefficiente direttivo $a_{n}$ .

Polinomio monico

Se il coefficiente direttivo è 1, ogni eventuale zero razionale intero divide il termine noto.

Il teorema limita, non garantisce

I candidati vanno verificati calcolando $P (\frac{p}{q})$ . Un divisore del termine noto non è automaticamente uno zero.

Termine noto nullo

Se $a_{0} = 0$ , raccogli subito $x$ : zero è già una radice.

Per $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ , i soli candidati razionali sono $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$ . La ricerca diventa finita.

10. La fattorizzazione dipende dal campo

Polinomio	Su ℚ	Su ℝ	Su ℂ
$x^{2} - 2$	Non si scompone in fattori lineari razionali.	$(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})$	Stessa scomposizione reale.
$x^{2} + 1$	Irriducibile.	Irriducibile.	$(x - i) (x + i)$
$x^{4} + 4$	$(x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$		Ogni fattore quadratico si spezza ulteriormente in fattori lineari.

Irriducibile significa non scomponibile in fattori non costanti nel campo scelto.
Su ℂ ogni polinomio non costante si scompone in fattori lineari.
Su ℝ gli unici fattori irriducibili hanno grado 1 oppure grado 2 con discriminante negativo.
Su ℚ possono esistere fattori irriducibili di qualunque grado.

Il lemma di Gauss, che incontrerai in algebra, permette di passare in modo controllato tra polinomi primitivi in

ℤ [x]

e fattorizzazioni in

ℚ [x]

. In pratica: dopo aver estratto il massimo comune divisore dei coefficienti, cercare fattori razionali equivale a cercare opportuni fattori interi.

11. MCD di polinomi e algoritmo di Euclide

Come per gli interi, il massimo comune divisore di due polinomi si calcola con divisioni successive:

A = B Q_{1} + R_{1}

L’ultimo resto non nullo, reso monico, è il MCD. Questo metodo è più fondamentale della scomposizione completa: funziona anche quando i fattori non sono evidenti.

Polinomi coprimi

$P$ e $Q$ sono coprimi se il loro MCD è 1, a meno di costanti non nulle.

Identità di Bézout

Esistono polinomi $U$ e $V$ tali che $U P + V Q = MCD (P, Q)$ .

Radici multiple

In caratteristica zero, $P$ ha radici multiple se e solo se $MCD (P, P^{'}) \neq 1$ .

12. Frazioni algebriche

Una frazione algebrica è un quoziente $\frac{P (x)}{Q (x)}$ con $Q (x) \neq 0$ . Scomporre numeratore e denominatore permette di semplificare, ma non cancella le condizioni originarie.

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x (x - 1)} = \frac{x + 1}{x}

Si cancellano fattori, non termini di una somma. Da

\frac{x + 1}{x}

non puoi “cancellare le

x

”.

13. Strategia operativa

Normalizza. Ordina per grado, riduci i termini simili e rendi espliciti gli eventuali coefficienti zero.
Raccogli. Estrai il massimo fattore comune numerico e letterale.
Guarda la forma. Conta i termini e cerca prodotti notevoli, raggruppamenti o una sostituzione come $t = x^{2}$ .
Usa il grado. Per il grado 2 usa discriminante e radici; per gradi superiori cerca zeri razionali possibili.
Dividi. Trovato uno zero, usa Ruffini o la divisione in colonna e ripeti sul quoziente.
Decidi dove fermarti. Un fattore può essere irriducibile su ℚ ma non su ℝ o ℂ: specifica sempre il campo.
Controlla. Rimoltiplica i fattori, confronta grado e coefficiente direttivo, poi verifica il termine noto.

14. Errori comuni

Il quadrato “distribuito”

${(A + B)}^{2} \neq A^{2} + B^{2}$ : manca $2 A B$ .

Segno davanti alle parentesi

$- (A - B) = - A + B$ . Il segno cambia per ogni termine.

Termini mancanti in Ruffini

In $x^{3} - 4 x + 1$ i coefficienti sono $1, 0, - 4, 1$ , non tre numeri.

Segno del divisore

Per dividere per $x + 3$ in Ruffini devi usare $α = - 3$ .

Candidato scambiato per radice

Il teorema delle radici razionali produce solo una lista di candidati: ciascuno va verificato.

Divisione terminata troppo presto

Il resto è valido solo quando il suo grado è strettamente minore di quello del divisore.

Condizioni perse

Semplificare un fattore al denominatore non reinserisce nel dominio i valori che lo annullavano.

Fattorizzazione senza campo

Dire che un polinomio “non si scompone” è incompleto: occorre precisare se si lavora su ℚ, ℝ o ℂ.

15. Esercizi graduati

Prova a motivare ogni passaggio e apri la soluzione solo alla fine.

1. Raccoglimento e differenza di quadrati

Scomponi $3 x^{3} - 12 x$ .

Mostra soluzione

Prima raccogli $3 x$ , poi riconosci una differenza di quadrati:

$3 x (x^{2} - 4) = 3 x (x - 2) (x + 2)$ .

2. Trinomio non monico

Scomponi $6 x^{2} + x - 2$ .

Mostra soluzione

Le radici sono $\frac{1}{2}$ e $- \frac{2}{3}$ . Quindi

$6 x^{2} + x - 2 = (2 x - 1) (3 x + 2)$ .

3. Sostituzione

Scomponi su ℝ $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ .

Mostra soluzione

Con $t = x^{2}$ ottieni $t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4)$ .

Quindi $(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ .

4. Resto senza divisione

Trova il resto della divisione di $x^{5} - 2 x^{2} + 7$ per $x - 2$ .

Mostra soluzione

Per il teorema del resto basta calcolare $P (2) = 32 - 8 + 7 = 31$ .

5. Ruffini e fattorizzazione completa

Scomponi su ℚ $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .

Mostra soluzione

I candidati interi sono $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Poiché $P (2) = 0$ , Ruffini dà il quoziente $x^{2} - 2 x - 3$ .

Risultato: $(x - 2) (x - 3) (x + 1)$ .

6. Molteplicità

Determina gli zeri e le molteplicità di $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Mostra soluzione

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

Gli zeri 0 e 1 hanno entrambi molteplicità 2.

7. Campo di fattorizzazione

Scomponi $x^{4} - 2$ su ℚ e su ℝ.

Mostra soluzione

Su ℚ è irriducibile. Su ℝ, posto $a = \sqrt[4]{2}$ , si ha $x^{4} - 2 = (x - a) (x + a) (x^{2} + a^{2})$ .

L’ultimo fattore, $x^{2} + \sqrt{2}$ , è irriducibile su ℝ.

8. Frazione algebrica

Semplifica $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$ e indica le condizioni.

Mostra soluzione

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 1}$ , con $x \neq 1, 2$ .

Che cosa dovresti saper fare prima dell’università

Passare senza esitazioni tra forma sviluppata e forma fattorizzata.
Usare prodotti notevoli e proprietà distributiva senza perdere segni o termini.
Eseguire una divisione tra polinomi e verificarla con $A = B Q + R$ .
Collegare zeri, fattori, resto, segno e molteplicità.
Scomporre polinomi di basso grado con raccoglimenti, sostituzioni, discriminante e Ruffini.
Semplificare frazioni algebriche conservando le condizioni di esistenza.
Distinguere esempi, congetture e dimostrazioni; saper giustificare perché ogni tecnica è applicabile.
Ricordare che “irriducibile” e “scomposto completamente” dipendono dal campo dei coefficienti.

Nei corsi di algebra questi oggetti diventeranno l’anello

K [x]

; in analisi userai fattorizzazioni e molteplicità per limiti, segni e sviluppi; in algebra lineare i polinomi entreranno in autovalori, polinomio caratteristico e diagonalizzazione.