Potenze e logaritmi

Una pagina pensata come reference rapida: dalle regole operative fondamentali ai dettagli che servono davvero per evitare errori di dominio e di manipolazione algebrica.

Notazione e definizioni base

Potenza

$a^{n}$ significa moltiplicare $a$ per sé stesso $n$ volte, quando $n$ è naturale.

Base ed esponente

La base è il numero da elevare; l'esponente indica quante volte si ripete il fattore.

Logaritmo

$\log_{b} (x) = y$ equivale a dire che $b^{y}$ è uguale a $x$ .

Proprietà fondamentali delle potenze

Proprietà	Formula	Condizioni	Esempio
Prodotto	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	Stessa base	$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$
Quoziente	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$	$a \neq 0$	$\frac{5^{6}}{5^{2}} = 5^{4}$
Potenza di potenza	$(^{a^{m}) n} = a^{m n}$	Valido nei domini usuali	$(^{3^{2}) 4} = 3^{8}$
Prodotto di potenze	$(^{a b) n} = a^{n} b^{n}$	Base multipla	$(^{2 \cdot 3) 2} = 2^{2} \cdot 3^{2}$
Quoziente di potenze	$(^{\frac{a}{b}) n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$	$b \neq 0$	$(^{\frac{6}{2}) 3} = \frac{6^{3}}{2^{3}}$
Potenza di 1	$1^{n} = 1$	Per ogni esponente	$1^{100} = 1$
Potenza di 0	$0^{n} = 0$	$n > 0$	$0^{5} = 0$
Esponente zero	$a^{0} = 1$	$a \neq 0$	$7^{0} = 1$

Attenzione: 0^0 è una forma indeterminata nel contesto più comune, quindi va trattata con cautela.

Esponenti negativi, frazionari e radicali

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

$a^{- n}$ richiede $a \neq 0$ .
$a^{\frac{1}{n}}$ in campo reale richiede attenzione al segno di $a$ e alla parità di $n$ .
Per $a < 0$ , radici di indice pari non sono reali; con indice dispari il risultato reale esiste.
Gli esponenti razionali permettono di riscrivere molte radici in forma di potenza e viceversa.

Definizione di logaritmo

Definizione

$\log_{b} (x) = y$ se e solo se $b^{y}$ è uguale a $x$ .

Condizioni di esistenza

$b > 0, b \neq 1, x > 0$ .

Interpretazione

Il logaritmo dice a quale esponente bisogna elevare la base per ottenere l'argomento.

I logaritmi sono l'inversa delle potenze: per questo sono così utili nel passaggio tra crescita moltiplicativa ed esponenziale.

Proprietà dei logaritmi

Proprietà	Formula	Condizioni	Esempio
Prodotto	$\log_{b} (x y) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y)$	$x, y > 0$	$\log_{2} (8 \cdot 4) = \log_{2} (8) + \log_{2} (4)$
Quoziente	$\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y)$	$x, y > 0$	$\log_{10} (\frac{100}{10}) = 2 - 1$
Potenza	$\log_{b} (x^{k}) = k \cdot \log_{b} (x)$	$x > 0$	$\log_{3} (27) = \log_{3} (3^{3}) = 3$
Base e argomento	$\log_{b} (b) = 1$	$b > 0, b \neq 1$	$\log_{5} (5) = 1$
Unità	$\log_{b} (1) = 0$	$b > 0, b \neq 1$	$\log_{7} (1) = 0$
Inversa	$\log_{b} (b^{x}) = x$	$b > 0, b \neq 1$	$\log_{2} (2^{8}) = 8$

Cambio di base e logaritmi notevoli

Cambio di base

\log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}

Con $c$ qualunque base valida. È la forma più comoda da memorizzare.

Logaritmo naturale

$\ln (x)$ è il logaritmo in base $e$ , molto usato in analisi e crescita continua.

Logaritmo decimale

$\log (x)$ o $\log_{10} (x)$ indica spesso il logaritmo in base 10, soprattutto nei contesti scolastici.

\log_{2} (8) = \frac{\ln (8)}{\ln (2)} = 3

Esercizi con soluzione nascosta

Ogni esercizio copre un caso tipico: il risultato si mostra solo quando apri la soluzione.

1. Prodotto di potenze con stessa base

Semplifica $2^{3} \cdot 2^{5}$ .

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Risultato: $2^{8}$ = 256

Sommi gli esponenti perché la base è la stessa.

2. Quoziente di potenze con stessa base

Semplifica $\frac{5^{7}}{5^{2}}$ .

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Risultato: $5^{5}$ = 3125

Sottrai gli esponenti: $7 - 2 = 5$ .

3. Potenza di potenza

Semplifica $(^{3^{2}) 4}$ .

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Risultato: $3^{8}$ = 6561

Moltiplichi gli esponenti: $2 \cdot 4 = 8$ .

4. Potenza di un prodotto

Semplifica $(^{2 \cdot 4) 3}$ e riscrivilo separando le basi.

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Risultato: $8^{3}$ = $2^{3}$ · $4^{3}$ = 512

Puoi distribuire l'esponente su ciascun fattore.

5. Esponente zero

Calcola $9^{0}$ .

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Risultato: $1$

Ogni base non nulla elevata a zero vale 1.

6. Esponente negativo

Calcola $4^{- 2}$ .

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Risultato: $\frac{1}{16}$

Un esponente negativo inverte la potenza: $4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}}$ .

7. Esponente frazionario

Calcola $16^{\frac{1}{2}}$ .

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Risultato: $4$

$\frac{1}{2}$ indica la radice quadrata.

8. Esponente razionale generale

Calcola $27^{\frac{2}{3}}$ .

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Risultato: $9$

Prima fai la radice cubica: $27^{\frac{1}{3}} = 3$ , poi elevi al quadrato.

9. Logaritmo definizione diretta

Trova $\log_{2} (32)$ .

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Risultato: $5$

Perché $2^{5} = 32$ .

10. Prodotto di logaritmi

Semplifica $\log_{10} (2) + \log_{10} (5)$ .

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Risultato: $\log_{10} (10) = 1$

Usi la proprietà del prodotto: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

11. Quoziente di logaritmi

Semplifica $\log_{3} (81) - \log_{3} (3)$ .

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Risultato: $3$

$\log_{3} (81) = 4$ e $\log_{3} (3) = 1$ , quindi $4 - 1 = 3$ .

12. Cambio di base

Riscrivi $\log_{2} (8)$ usando i logaritmi naturali.

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Risultato: $\frac{\ln (8)}{\ln (2)} = 3$

Applichi la formula $\frac{\log_{b} (x)}{\ln (b)}$ .

13. Verifica del dominio

Decidi se $\log_{5} (- 2)$ è definito nei reali.

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Risultato: non è definito nei reali.

L'argomento di un logaritmo reale deve essere positivo.

Note utili e casi da ricordare

Con i logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo: $x > 0$ .
La base di un logaritmo deve soddisfare $b > 0, b \neq 1$ .
Le proprietà dei logaritmi non si applicano “a occhio” se l'espressione non è nel dominio corretto.
Le proprietà delle potenze richiedono attenzione con base nulla, base negativa ed esponenti non interi.
Se hai una somma dentro il logaritmo, non puoi separarla: $\log (x + y) \neq \log (x) + \log (y)$ .
Allo stesso modo, ${(x + y)}^{n} \neq x^{n} + y^{n}$ in generale.

Regola pratica: prima verifica il dominio, poi applica le proprietà algebriche, e solo alla fine semplifica i valori numerici.

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